Fuente: Kkorvin, Imagen de Dominio Público CC0. Disponible en Pixabay
Hola estimados lectores de Steemit y miembros de la comunidad científica #stem-espanol el día de hoy abordaré en mi artículo una de las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, específicamente la relacionada con la datación (determinación de la antigüedad) de fósiles mediante el uso del isótopo radiactivo del carbono-14, para lo cual en primer lugar se explicarán algunos conceptos previos.
El término vida media de un isótopo se usa para medir la estabilidad de una sustancia radiactiva, específicamente, la vida media es el tiempo que tardan la mitad de los átomos presentes en una cantidad de sustancia en desintegrarse. Si una sustancia tiene una vida media más larga que otra significa que su isótopo es más estable. Por ejemplo, el isótopo de Uranio que con mayor frecuencia se presenta en la naturaleza el U-238 tiene una vida media de aproximadamente 4.500 millones de años, esto quiere decir que en este periodo de tiempo la mitad de los átomos de Uranio U-238 se desintegran y producen como resultado otra sustancia (en este caso Plomo Pb-206).
La vida media de una sustancia radiactiva puede ser modelada mediante una ecuación diferencial ordinaria teniendo en cuenta que la razón a la que disminuye la cantidad de una sustancia radiactiva dA/dt es proporcional a la cantidad de sustancia radiactiva A, se establece el siguiente problema de valor inicial (P.V.I.):
Donde A0 es la cantidad original de la sustancia. Esta ecuación diferencial es muy fácil de resolver utilizando el método del factor integrante. El procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de 1° orden es el siguiente, dada una E.D.O de la forma:
Se encuentra el factor integrante
Luego la solución de la ecuación diferencial ordinaria lineal de 1° orden viene dada por la siguiente fórmula
Aplicando estas fórmulas a la ecuación diferencial para la desintegración radiactiva se obtiene
Sustituyendo la condición inicial se obtiene
Es decir, la solución particular de la E.D.O. es
Esta ecuación diferencial ordinaria puede ser utilizar para el fechado por carbono-14, el fundamento de este método se basa en el hecho de que en la atmósfera terrestre ocurre una reacción química de gran relevancia tal como plantea Chang (2003)
“Una de las reacciones importantes entre la atmósfera y los rayos cósmicos es la captura de neutrones por el nitrógeno atmosférico (el isótopo nitrógeno-14) para producir el isótopo radiactivo carbono-14 e hidrógeno…”
La proporción entre el carbono-14 y el carbono ordinario de la atmósfera terrestre es constante y en general la proporción de carbono-14 presente en cualquier organismo vivo es similar a la de la atmósfera, sin embargo, cuando un organismo muere deja de absorber carbono-14, debido a esto al transcurrir los años la proporción de carbono-14 presente en el fósil del organismo tiende a disminuir este hecho es usado por los científicos para establecer la fecha en la que murió el organismo.
El método para fechar mediante el uso de carbono-14 fue desarrollado por Willard F. Libby en el año 1955 (este trabajo le hizo ganar el premio Nobel de química en el año 1960), para aplicar el método descrito se debe tener en cuenta que la vida media del isótopo carbono-14 es de aproximadamente 5.600 años.
Por ejemplo, si se encuentra un fósil que tiene un 1% de la cantidad original presente en la atmósfera de C-14, se puede determinar la edad de dicho fósil mediante la siguiente ecuación diferencial ordinaria
Se estableció la condición inicial
Debido a que en 5.600 años la cantidad de C-14 presente en el fósil se habrá reducido a la mitad. Teniendo en cuenta que, según se demostró al principio de este artículo la solución general de esta ecuación diferencial es
Sustituyendo la primera condición inicial
Es decir:
Sustituyendo la condición
Se obtiene
Es decir,
Como la proporción de carbono-14 es el 1% de la concentración original, reordenando se cumple que
Es decir, el fósil tiene una edad aproximada de 37.206 años.
Método de Runge-Kutta de 4° orden
Muchas veces los métodos analíticos utilizados para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias no son suficientes para encontrar una solución exacta, en estos casos se suelen aplicar métodos numéricos basados en aproximaciones, en un artículo anterior se abordó uno de estos métodos, el método de Euler el cual es la base de la mayoría de métodos numéricos utilizados para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Uno de los métodos más utilizados para abordar este tipo de problemas de forma numérica es el denominado Método de Runge-Kutta de 4° orden (abreviado comúnmente como RK4), el cual pertenece a una conocida familia de métodos iterativos desarrollados en los años 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
El método de Runge-Kutta de 4° orden ha alcanzado gran popularidad debido a su gran precisión y a la simplicidad con la que es programado, adicionalmente el método solamente requiere una condición inicial, las fórmulas utilizadas en este método son las siguientes:
Básicamente se trata de estimar el valor de Yi+1 mediante el valor anterior Yi al cual se le suma el tamaño del intervalo h multiplicado por el promedio ponderado de la pendiente de f(x,y) en dicho intervalo permitiendo de esta forma obtener una aproximación bastante precisa a la solución de la ecuación diferencial ordinaria en el nuevo punto.
Este método puede ser aplicado al problema mostrado en el presente artículo, expresando la cantidad de carbono-14 de forma porcentual, se puede establecer que un organismo vivo al momento de morir posee una concentración de 100% la cantidad de C-14 presente en la atmósfera y utilizando el valor de k obtenido anteriormente
Se puede expresar la ecuación diferencial ordinaria como
Se aplicará el método de Runge-Kutta para determinar cómo evoluciona la concentración de C-14 los primeros 200 años tras la muerte del organismo utilizando para ello el sistema de Álgebra Computacional (CAS) wxMaxima mediante el siguiente código fuente:
/******************************/
/* MÉTODO DE RUNGE-KUTTA /
/ Licdo Ysmael González /
/ STEM-ESPANOL /
/ STEEMIT 2018 /
/******************************/
f(x,y):=-0.000123776x$ /Ecuación diferencial a resolver/
x0:0$ y0:100$ /Condición inicial X0 y Y0/
xf:200$ deltax:5$ /Valor final del intervalo Xn y tamaño de paso/
sol(x):=100exp(-0.000123776x)$ /Solución analítica de la EDO/
fpprintprec:9$ /Número de cifras decimales/
xn:x0$ n:0$ yn:y0$ iter:(xf-x0)/deltax$
while n<=iter do
(
s1:float(f(xn,yn)),
s2:float(f(xn+(deltax/2),yn+(s1deltax/2))),
s3:float(f(xn+(deltax/2),yn+(s2deltax/2))),
s4:float(f(xn+deltax,yn+(s3deltax))),
g:float(sol(xn)),
ep:float(abs((g-yn)100/g)),
print("",n," ",float(xn)," ",float(yn)," ",float(g)," ",float(ep),"
n:n+1,xn:xn+deltax,yn:float(yn+(deltax/6)(s1+2s2+2*s3+s4))
);
Generando los siguientes resultados
| Iter. | Año | % de C-14 (RK4) | Val. Exacto | Error % |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.0 | 100.0 | 100.0 | 0.0 |
| 1 | 5.0 | 99.9984528 | 99.9381311 | 0.060358997 |
| 2 | 10.0 | 99.9938112 | 99.8763006 | 0.11765617 |
| 3 | 15.0 | 99.9860752 | 99.8145082 | 0.17188578 |
| 4 | 20.0 | 99.9752448 | 99.7527542 | 0.22304211 |
| 5 | 25.0 | 99.96132 | 99.6910383 | 0.27111938 |
| 6 | 30.0 | 99.9443008 | 99.6293606 | 0.31611187 |
| 7 | 35.0 | 99.9241872 | 99.567721 | 0.35801379 |
| 8 | 40.0 | 99.9009792 | 99.5061196 | 0.39681939 |
| 9 | 45.0 | 99.8746768 | 99.4445563 | 0.4325229 |
| 10 | 50.0 | 99.84528 | 99.3830311 | 0.46511852 |
| 11 | 55.0 | 99.8127888 | 99.321544 | 0.49460047 |
| 12 | 60.0 | 99.7772032 | 99.2600949 | 0.52096296 |
| 13 | 65.0 | 99.7385232 | 99.1986838 | 0.54420017 |
| 14 | 70.0 | 99.6967488 | 99.1373107 | 0.56430631 |
| 15 | 75.0 | 99.65188 | 99.0759756 | 0.58127554 |
| 16 | 80.0 | 99.6039168 | 99.0146784 | 0.59510205 |
| 17 | 85.0 | 99.5528592 | 98.9534192 | 0.60578001 |
| 18 | 90.0 | 99.4987072 | 98.8921978 | 0.61330356 |
| 19 | 95.0 | 99.4414608 | 98.8310144 | 0.61766688 |
| 20 | 100.0 | 99.38112 | 98.7698687 | 0.6188641 |
| 21 | 105.0 | 99.3176848 | 98.708761 | 0.61688936 |
| 22 | 110.0 | 99.2511552 | 98.647691 | 0.61173679 |
| 23 | 115.0 | 99.1815312 | 98.5866588 | 0.60340053 |
| 24 | 120.0 | 99.1088128 | 98.5256643 | 0.59187467 |
| 25 | 125.0 | 99.033 | 98.4647076 | 0.57715334 |
| 26 | 130.0 | 98.9540928 | 98.4037887 | 0.55923064 |
| 27 | 135.0 | 98.8720912 | 98.3429074 | 0.53810066 |
| 28 | 140.0 | 98.7869952 | 98.2820637 | 0.51375749 |
| 29 | 145.0 | 98.6988048 | 98.2212578 | 0.48619521 |
| 30 | 150.0 | 98.60752 | 98.1604894 | 0.45540789 |
| 31 | 155.0 | 98.5131408 | 98.0997586 | 0.4213896 |
| 32 | 160.0 | 98.4156672 | 98.0390654 | 0.3841344 |
| 33 | 165.0 | 98.3150992 | 97.9784098 | 0.34363634 |
| 34 | 170.0 | 98.2114368 | 97.9177917 | 0.29988947 |
| 35 | 175.0 | 98.10468 | 97.857211 | 0.25288781 |
| 36 | 180.0 | 97.9948288 | 97.7966679 | 0.2026254 |
| 37 | 185.0 | 97.8818832 | 97.7361622 | 0.14909627 |
| 38 | 190.0 | 97.7658432 | 97.675694 | 0.092294417 |
| 39 | 195.0 | 97.6467088 | 97.6152632 | 0.03221386 |
| 40 | 200.0 | 97.52448 | 97.5548697 | 0.031151405 |
Tabla N°1 Disminución de la concentración de carbono-14 en un fósil en los primeros 200 años después de la muerte del organismo, Fuente: Elaboración propia.
En la tabla N°1 se evidencia como disminuye la concentración porcentual de C-14 respecto al C-14 presente en la atmósfera en los primeros 200 años del fósil, se observan los valores obtenidos mediante el método numérico de Runge-Kutta de 4° orden (RK4) y su comparación con la solución exacta obtenida al resolver la ecuación diferencial ordinaria mediante el análisis matemático, la última columna muestra el error porcentual de la aproximación mediante el método numérico; según los datos se puede observar que el método RK4 tiene un alto grado de precisión pero a medida que nos vamos alejando de la fecha de origen el error porcentual tiende a crecer. Gráficamente este hecho puede observarse en la siguiente imagen:
Disminución en la concentración de C-14 en los primeros 200 años del fósil. Comparación entre la solución exacta (Rojo) y las solución numérica (Azul). Fuente: Elaboración propia.
CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES
El fechado mediante la técnica del isótopo carbono-14 es una de las técnicas clásicas de datación de fósiles, sin embargo, en la actualidad se han desarrollado nuevas técnicas isotopicas que utilizan al argón-40 y al potasio-40 obteniendo niveles de precisión más elevados.
En ciertos casos se pueden utilizar técnicas de datación de fósiles no isotopicas basadas en el uso de aminoácidos (racemización de aminoácidos).
El método numérico de Runge-Kutta de 4° Orden (RK4) tiene una gran precisión a la hora de obtener aproximaciones numéricas a los resultados de una ecuación diferencial ordinaria, muchas veces en la práctica estas aproximaciones son suficientemente cercanas para ser usadas como valores reales.
El método de Runge-Kutta de 4° Orden (RK4) tiene un grado de precisión mayor que el método de Euler debido a que utiliza el promedio ponderado de 4 pendientes en lugar del valor de una sola pendiente.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y MATERIAL CONSULTADO PARA LA ELABORACIÓN DE ESTE ARTÍCULO
Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editoria Limusa Willey.
Chang (2003) Química 7° Edición, Editorial McGraw-Hill pág. 530 y 919
González (2018) Modelado matemático mediante ecuaciones diferenciales ordinarias aplicado al estudio de la dinámica de poblaciones de un sistema depredador-presa (especies presentes en el cerro Santa Ana). Disponible en el siguiente enlace.
Sauer (2013), Análisis Numérico. 2da edición Editorial Pearson.
Zill y Cullen (2008) Ecuaciones Diferenciales, 3° Edición, Editorial McGraw-Hill pág. 95-98.
Imagen de Dominio Público. Elaborada por @carloserp-2000 y @iamphysical.