Hola amigos de la comunidad hive.
En esta oportunidad quiero compartir con todos ustedes algunas generalidades del paraboloide tanto el hiperbólico como el elíptico, cabe resaltar que el paraboloide elíptico e hiperbólico lo podemos estudiar y analizar desde el punto de vista geométrico y del cálculo integral.
La Geometría nos brinda la oportunidad de estudiar cualquier cónica enfocada en las ecuaciones que originan dicho cuerpo geométrico, quizás desde tiempos remotos se pudieron visualizar diferentes elementos de la naturaleza que tuvieran una semejanza con alguno de los dos paraboloides (elíptico e hiperbólica), sin embargo solo se podía estudiar la formas y magnitud, pero se imposibilitaba estudiar las ecuaciones que la originan.
Desde que Rene Descartes pudo introducir a la geometría analítica es que la matemática pudo profundizar dentro de la geometría las ecuaciones que rigen el comportamiento gráfico de los cuerpos geométricos, para el caso del paraboloide hiperbólico y elíptico voy a realizar una conceptualización referente a la forma en cómo podemos definir a los paraboloides.
Conceptualización del paraboloide
Lo primeramente importante es saber que los paraboloides no la podemos visualizar y entender en el plano bidimensional, ya que el paraboloide es una figura geométrica que se da en estructura solo en el plano tridimensional.
Si juntamos el hecho de que el paraboloide es un cuerpo geométrico tridimensional y que tiene una ecuación asociada a su forma canónica, entonces debemos decir que un paraboloide es una cuádrica, ya que es la definición que se le da a los cuerpos geométricos tridimensionales que tienen una ecuación asociada.
Existen dos tipos de paraboloides, que son el eliptico y el hiperbólico.
El tipo de paraboloide va a depender de la forma en cómo sean los términos cuadráticos de su ecuación general, por ejemplo la ecuación de un paraboloide hiperbólico llamado también silla de montar es:
A diferencia del paraboloide elíptico el paraboloide hiperbólico tiene una de las dos variables (x,y) negativas, la variable que tenga el negativo va a ser el eje del paraboloide hiperbólico.
Si buscamos elementos de la vida real que tengan un parecido en su forma geométrica, tenemos a una silla de montar caballos:
La forma gráfica del paraboloide hiperbólico puede ser semejante a la siguiente figura:
La otra forma semejante que tiene el paraboloide hiperbólico es a la de una papa pringles:
¿Existe algún software que se pueda aplicar para graficar el paraboloide hiperbólico?
Existen múltiples software que pueden realizar este tipo de cuádricas, sin embargo en mi caso recomiendo el uso del software de uso libre geogebra 5.0.
Voy a tomar el ejemplo de una ecuación para que la grafiquemos empleando el uso del software geogebra 5.0 para que veamos cómo se hace.
Grafiquemos el paraboloide hiperbólico que tiene la siguiente ecuación:
Simplemente si tenemos esta ecuación elaborada con las herramientas de inserción de ecuaciones de Microsoft Word, solo la tomamos y la copiamos para pegarla en la parte del software geogebra que dice Entrada:
Acerca del paraboloide elíptico podemos destacar que tiene una diferencia marcad a razón del paraboloide hiperbólico, y es que las dos variables, es decir (x,y) son positivas, por lo que podemos deducir como ecuación canónica del paraboloide elíptico la siguiente ecuación:
Lo otro importante a considerar es que si a=b, entonces el paraboloide elíptico es un sólido en revolución y ocurre cuando giramos una de sus parábola con su eje de simetría.
Un ejemplo claro de un sólido en revolución a partir del ejemplo mencionado de un paraboloide elíptico es una antena parabólica de TV:
En el caso de la gráfica de un paraboloide elíptico tiene una forma semejante a la siguiente imagen:
Si tomamos el ejemplo para graficar un paraboloide elíptico usando el software geogebra 5.0 podemos plantearnos la siguiente ecuación:
Colocamos en la parte donde dice entrada la ecuación y automáticamente se nos refleja la gráfica del paraboloide elíptico:
Conclusiones
[1] Los paraboloides tanto el hiperbólico como el elíptico pueden ser estudiados y evaluados desde el punto de vista geométrico.
[2] La vinculación de los paraboloides con el cálculo integral es que podemos calcular el volumen de uno de estos cuerpos geométricos mediante las aplicaciones de la integral para calcular volúmenes mediante una integral triple.
[3] Existen puntos de comparación con elemento reales de la vida real con los que se puede comparar esta superficies cuádricas como lo son las antenas parabólicas, silla de montar caballo y las papas pringles.
Referencia consultada y recomendada
Cálculo completo Vol 1 y 2 9na Edición Ron Larson & Bruce H. Edwards
Nota: Todas las imágenes usadas en este post que no tienen fuentes de imagen es porque son propias del autor, algunas fueron elaboradas usan las herramientas de inserción de ecuaciones de Microsoft Word y otras empleando el software geogebra 5.0